量子力学可以说是关于自然界最成功的定量理论了。 这个理论如今已经八十岁 (原文发表于2006年)。尽管做了大量涉及到光、原子、分子、固体、以及原子核、电子、以及其它亚原子粒子的实验，迄今没有一个违背量子力学。事实上，各种量子电动力学的实验结果跟理论预言的吻合程度让人震惊——达到了十亿分之一的精度。不仅仅关于实在的现代描述本质上都是量子的，我们的现代技术——比如晶体管、电路板、激光、超导体，以及磁存储——本质上都是基于量子现象的。在固态量子现象中理论和实验完美结合，产生出基于 Josephson 效应的伏特标准，以及基于 Hall 效应的电阻标准。

最近量子计算方面的观念进展开启了新篇章，催生了以真正制造出量子计算机为目标的的严肃实验研究。商业化的包含数百万个量子逻辑比特 (qubit) 的量子计算机将会让解决一些难以计算的问题成为可能，比如素数分解和数据库搜索；背后的算法利用了量子力学的线性叠加特性、幺正演化、以及指数级大小的纠缠态希尔伯特空间。但最终的读出过程仍然是通常的经典测量。实际上，量子计算机可以比经典数字计算机快指数量级。

建造包含许多 qubit 的大型量子计算机的一个难点是量子退相干: 一个物理体系在一个相干叠加态只能保持有限——通常很短——的时间。任何与周围世界的相互作用或者任何导致“波函数塌缩”的测量都会让系统退相干，进而破坏编码的量子信息。但是，一个开创性的理论发展让建造量子计算机成为可能：量子错误改正，或容错量子计算 (John Preskill 1999 Physics Today)；研究者确立了一个阈值定理，证明只要退相干够弱，就可以被改正掉。

如果把量子退相干想成量子计算中不受欢迎的噪声，则有效的“软件”错误改正依赖于消除或最小化计算机内的噪声。这种方法的思想与经典数字计算机里的错误改正类似。对于量子计算机而言，另一种策略叫做拓扑量子计算，并不尝试去让系统没有噪声，而是去让系统变“聋”——即对通常的退相干源免疫。由于计算的整体强壮拓扑特性，这个革命性的策略让量子退相干变得无关紧要。

量子计算

假设我们有一个可控的量子系统。进一步假定可以让系统一开始处在某个已知的态 \(|\psi_0\rangle\) 上。让这个系统通过一个幺正变换 \(U(t)\) 演化，直到进入某个终态 \(|\psi_1\rangle=U(t)|\psi_0\rangle\)。由于演化是按照哈密顿量来的，我们需要对哈密顿量有足够的控制，这样就可以让 \(U(t)\) 具有任何想要的幺正变换的形式。最后，我们需要测量演化结束后系统状态的方法。

这种初始化、演化，以及测量的过程就叫量子计算。量子计算机的基本单元是量子比特 (qubit) ——一种可处在 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 两个态的量子双状态系统。通过外部方法，一个量子比特可以被控制、操纵、耦合、纠缠到其它量子比特。幺正操作自身定义了量子计算的代码。

那为什么没有人造一个量子计算机出来？有个基本的障碍——错误的发生。Asher Peres 有个有意思的说法，“量子现象不是发生在希尔伯特空间，而是发生在实验室”。当然，经典计算机也有错误，但可以通过保存多个副本并对副本做检查来克服。

但对于量子计算机，情况更复杂。如果在计算过程中我们通过对量子态做测量的方法来检测是否发生错误了，由于波函数塌缩的缘故，我们可能会破坏量子叠加性并破坏计算。并且，错误不一定只是 \(|0\rangle\) 翻转成 \(|1\rangle\) 这样的，而可以是连续的相位错误：\(a|0\rangle + b|1\rangle \rightarrow a|0\rangle + be^{i\theta}|1\rangle\)，其中 \(\theta\) 是任意的。这种连续的错误表面上就像经典模拟计算中的出现的那种，乍一看似乎不可能修正；因此很长一段时间量子计算被认为不可能实现。然而，1990 年代中期人们发现，尽管有这些困难，量子纠错是可能的。

可以通过信息的冗余表达来识别错误而无需对信息做出测量。但是，纠错过程本身也可能也有噪声。纠错过程可能出现更多错误，整个过程可能会搬石头砸自己的脚，除非基础错误率很低。超过某个错误率后纠错就变得不可能了，这个阈值的估计依赖于特定的纠错方法，但一般处于 \(10^{-4}\) 到 \(10^{-6}\) 之间。也就是说，量子计算机必须完美完成 \(10^4\) 到 \(10^6\) 次计算才允许出现一次错误。这是个严重的限制。尽管过去五年实验进展明显，并不清楚实用的量子计算机架构内可否通过量子纠错程序克服量子退相干。

要想实现量子计算，对错误的处理是必须解决的中心物理问题。拓扑量子计算以一种根本的方式缓解了这个问题。

拓扑学和量子计算

现在我们改变话题，来谈谈拓扑学。拓扑学是一门数学分支，研究在弹性形变下不变的几何构型。一个笑话是说拓扑学家不能区分面包圈和咖啡杯。 //TODO

物质的拓扑状态

值得注意的是，真正存在的物质凝聚状态对局部扰动不敏感。它们在低温低能和长距离上是不变的。这些拓扑态就跟金属和有序磁铁一样真实，但不那么常见。

拓扑态的存在让人吃惊，因为拓扑不变性不是通过库伦相互作用耦合起来的电子和离子的哈密顿量的对称性。当固定别的电子和离子的位置时 (短时间内是个好的近似)，两个电子之间的库伦排斥强烈依赖于它们之间的距离，因此哈密顿量也如此。通过拉伸和压缩的方式让系统连续变形进而改变两个电子之间的距离会让能量跟着变化。因此，拓扑不变形只可能是在低能和长距离情形涌现出的对称性。在这种尺度，当两个电子之间的距离由于系统形变发生变化时，别的电子会调节位置以使得总能量不变。在恰当的情形，这种不变形可能产生拓扑量子基态。

虽然显得简单，这个想法其实是把许多物理学家习惯的那套颠倒了。他们习惯的是，低能、长距离的物理比微观运动方程的对称度低。比如在固体里面，哈密顿量在所有粒子的任意均匀平移下是不变的。但是，在基态，离子形成晶格结构，这个结构的对称群小很多，只能是沿着晶格矢量的离散平移。宇宙微波背景辐射提供了尺度很不一样的物理的例子。它有轻微的各向异性，也就是其温度在不同方向不同，尽管背后的方程是旋转不变的。晶格和微波背景辐射都是对称性自发破缺的例子。

物质的拓扑态是反面例子：低能长距离物理比微观方程更对称。这是涌现的对称。

用更技术化的语言，当一个系统的低能长距离有效场论是一个拓扑量子场论——即它的所有物理关联函数都是在除 \(e^{-\Delta/T}\) 这个因子之外拓扑不变的，此处 \(T\) 是温度，\(\Delta\) 是非零能级间隔——则我们可以说这个系统处于拓扑相。这种特性就是分数量子霍尔效应里发现的那种。

分数量子霍尔效应

在高活动性的砷化镓混杂结构和量子阱中，电子可以被限制在一个二维平面上运动。如果二维电子气被放置在一个垂直的磁场中冷却至低温，电子会自组织形成一个拓扑不变态。

拓扑不变性主要体现在横向霍尔电阻 \(R_{xy}=h/\nu e^2\) 的量子化，这里 \(\nu\) 是填充因子，是个有理数，\(h\) 是普朗克常数，\(e\) 是电子电荷。两个基本常数 \(h\) 和 \(e\) 组成一个电阻量子 \(h/e^2\approx 25812 \Omega\)；这是个宏观量级的数，被作为电阻的国际参考标准。通常我们区分 \(\nu\) 是整数和分数的情形，分别称为整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应。\(R_{xy}\) 的量子化与纵向电阻 \(R_{xx}\) 的消失同时发生。

量子霍尔态跟超导体和电阻器有相似之处。就像超导体一样，量子霍尔态纵向电阻为零，电流无耗散，但由于非零的霍尔电阻，通过求电阻矩阵的逆得到的纵向电导率 \(G_{xx}\) 也是零，这就跟电阻器一样了。就跟超导体和电阻器一样，量子霍尔态对基态之上的激发有能级间隙 \(\Delta\)。\(R_{xx}\) 和 \(G_{xx}\) 都正比于 \(e^{-\Delta/T}\)。

量子霍尔态中霍尔电阻的强壮量子化是系统基态拓扑特性的直接体现。事实上，量子化的 \(R_{xy}\) 是个拓扑不变量，与样本的形状和大小都无关，这也是为什么量子化那么精确的原因。

从Robert Laughlin 关于基态和低能级分数量子霍尔态的 \(\nu=1/m\) 且 \(m\) 为奇数的激发的理论我们知道，分数量子霍尔效应的特点是它们支持分数电荷激发以及奇特的缠绕统计。比如，在 \(\nu=1/3\) 的平台，基态附近低能级激发的准粒子电荷是 \(e/3\)。如果系统加入一个电子，它会分裂成三个准粒子，每个电荷为 \(e/3\)。

乍一看这有点疯狂。我们知道质子由三个夸克组成，但电子是基本的。它怎么能分解成更小的组分呢？答案是，系统是由许多电子组成的。如果它们之间没有相互作用，则新加入的电子独立于其它电子运动，不会有什么特别的。但当电子处于分数量子霍尔态中时，它们之间有相互作用。低温和强磁场倾向于增强电子之间的相互作用。结果是，当电子加入 \(\nu=1/3\) 态时，其它电子会调节自身以至于在新加入电子所在的位置看不到额外的电荷。相反，拥有三团电荷为 \(e/3\) 的小团块能量更低。电荷团块的大小由能级间隙 \(\Delta\) 决定，并且与磁场尺度 \(l_0=\sqrt{\hbar c/eB}\) 可比，对于 5 \(T\) 的磁场在 \(100\) \(\unicode{x212B}\) 的量级。

任意子与辫子

除了分数式变化之外，分数量子霍尔效应中准粒子有个不平凡的性质：它们是任意子 (anyon)。任意子最开始是作为一种数学可能性提出的：当交换两个粒子时，玻色子波函数乘上一个相因子 \(+1\)，费米子波函数乘上相因子 \(-1\)，而任意子波函数可以乘上任意的 \(e^{i\theta}\)。这种对费米子和玻色子的自然推广在二维可行。为了更好地理解任意子，我们先来考虑二维空间中粒子轨迹的缠绕。

考虑 \(2+1\) 维时空中粒子轨迹的缠绕。按照费曼路径积分，时刻 \(t_0\) 处于 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 的 \(n\) 个粒子在时刻 \(t\) 回到同一个位置的量子振幅由对所有路径求和给出。每个路径贡献权重 \(e^{iS/\hbar}\)，这里 \(S\) 是路径的经典作用量。这种权重分配在 \(\hbar \rightarrow 0\) 时回到经典解。二维空间的一个怪异之处是，粒子轨迹空间是不连通的：并不是总能把一个轨迹连续形变成另一个（译注：这个强调的是轨迹空间不连通，而不是轨迹所在的空间不连通。一个轨迹不能连续形变为另一个并不意味着空间不连通，比如轮胎面上的经线和纬线就不能互相变。）。

结果就是，在量子力学的层面，我们有赋予每个轨迹不同相因子的自由。由于轨迹不能连续地从一个变成另一个，经典极限与我们选取的相因子无关。

这些相因子组成一个辫子群的阿贝尔表示。对于两个粒子的情形，辫子群就是整数群，其中整数 \(n\) 对应于一个粒子相对另一个粒子逆时针缠绕圈数（负数表示顺时针）。如果粒子是全同的，则必须允许交换，这可通过半整数缠绕来标记。两个全同粒子的辫子群的不同表示由一个相因子 \(\alpha\) 来标记，因此一个粒子与另一个逆时针交换 \(n\) 次的轨迹得到一个相因子 \(e^{in\alpha}\)。

如果 \(\alpha=0\)，粒子是玻色子；如果 \(\alpha=\pi\)，粒子是费米子。对于中间值，粒子是任意子。辫子群的任意子表示只是两粒子情形的拓展：只要 \(N\) 个粒子中任意一个逆时针交换 \(n\) 次，系统都会增加一个相因子 \(e^{in\alpha}\)。

在有相互作用的多体系统（比如金属、半导体、磁体，液氦）中，控制多数可观测性质的低能级激发表现得像弱相互作用粒子。这种激发被 Lev Landau 称为准粒子，一般是玻色子或费米子。但在分数量子霍尔效应里——可能别的地方也有——基态之上的准粒子激发是任意子。填充因子 \(\nu=1/3\) 的分数量子霍尔态里，当一个粒子绕另一个一圈时产生的相因子是 \(e^{2\pi/3}\)。当发生一个逆时针交换时，产生的相因子是 \(e^{\pi i/3}\)。这些相因子都是精确的，跟轨迹的形状速度等细节无关。有限温度对相因子的修正为 \(e^{-\Delta/T}\) 的量级。低温下这些修正是很小的。

阿贝尔任意子提供了一个可以在物质的拓扑态上精确实施的幺正变换的例子。可惜这个变换是平凡的，只是改变了波函数的相位。要实施对量子计算有用的幺正变换，需要一类特殊的支持非阿贝尔任意子的拓扑态。

非阿贝尔任意子

处于 \(1/3\) 分数量子霍尔态的阿贝尔任意子不是最奇怪的。假设有 \(g\) 个简并态 \(\psi_{\alpha}\) 的处于位置 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 的粒子。交换粒子 1 和 2 可能不仅是改变波函数的相位，而可能会把一个波函数变成 \(\psi_\alpha\) 张成的态空间里的另一个，也就是 \(\psi_\alpha \rightarrow M_{ab}\psi_b\)。交换粒子 2 和 3 可能对应不同的态空间转动：\(\psi_\alpha \rightarrow N_{ab}\psi_b\)。

如果 \(M_{ab}\) 和 \(N_{ab}\) 不交换——也就是 \(M_{ab} N_{bc} \ne N_{ab} M_{bc}\)——则我们说粒子服从非阿贝尔缠绕统计。利用这些粒子，我们可以通过缠绕粒子进行不平凡的幺正变换。这样，非阿贝尔准粒子是量子计算不可或缺的部分。

非阿贝尔缠绕给出了一个可能让读者烦恼过的问题的答案：如果拓扑保护在屏蔽量子系统不受环境干扰方面这么有效，我们要如何读出信息。如果系统的准粒子表现为非阿贝尔缠绕统计，也就是说它们是非阿贝尔任意子，则 \(n\) 个粒子的 \(g\) 维希尔伯特空间可用于存储量子信息。要操纵这些态，我们需要对 \(n\) 个准粒子实施缠绕操作。理想情形，我们希望通过这种操作能实施任何想要的幺正变换（或者至少在一定精度内近似）。对一大类态来说这种操纵的确可以。在计算的最后，我们可以通过利用一个 Aharonov-Bohm 效应的非阿贝尔推广来对拓扑信息进行拓扑测量，从而读出结果。操作方法是，投进一个非阿贝尔试验任意子，让其轨道缠绕包含需要的量子信息的准粒子，然后可以通过两个轨道之间的量子干涉独户信息。

为了探究非阿贝尔缠绕怎么运作，考虑两个简单模型。第一个有三个基础准粒子类型，标记为 \(0, 1/2, 1\)。这三个标记是拓扑荷——实质上相当于 \(\alpha\) 相因子的推广。准粒子的任意组合可以类似地用拓扑荷标记。在阿贝尔系统里，总荷是每个准粒子的荷的和。但在非阿贝尔系统里，加法规则变得复杂；在第一个例子里，加法规则类似于量子轨道角动量的规则。 //TODO

自然界中的非阿贝尔拓扑相

展望