陶哲轩: 为何Navier-Stokes方程的全局正规性是个难题

原文: Why global regularity for Navier-Stokes is hard

原文写作时间: 2007年3月18日

【非逐字逐句翻译】

对这个问题的标准答案是：湍流 —— 三维NS方程在精细尺度上的表现远比在粗糙尺度上更加非线性。我更愿意使用一种略微不同的表述：超临界性 (supercriticality)。更准确地说，我们所知道的NS方程的整体控制量 (我们知道的这种整体控制量并不多) 要么对尺度变换是超临界的，也就是说它们对精细尺度行为的控制远弱于对粗糙尺度行为的控制，要么它们是非强制性的，也就是说它们并不真的控制解的行为（无论是在精细还是粗糙尺度）。目前，所有已知的获取（决定性）非线性偏微分方程柯西问题全局光滑解的方法需要下述三者之一：

精确显式解（或者至少通过精确、显式的变换变成简单得多的偏微分方程或常微分方程）；
微扰假设（即小数据、数据接近特殊解、或者更一般的包含小量的某种假设）；
一个或多个具有强控制力且临界或亚临界的整体控制量（比如总能量）。

这些条件目前都只是全局规范性的必要条件，而远非充分条件。目前关于NS方程的整体规范性已经有了许多有深度的、高度非平凡的文章，但它们都需要通过额外的关于解或数据的假设来要求至少上述条件之一。比如，这篇文章假定了条件2，而这篇文章假定了条件3。

对于大小任意的光滑数据，NS方程的整体规范性问题不具有上述任何条件之一。不可能重新表述条件2而不改变问题的描述，或者不引入新的假设。并且，虽然在微扰情形NS方程几乎线性演化，在非微扰情形NS方程其表现高度非线性，所以基本上没机会把非微扰情形化为微扰情形，除非有人能找到一种高度非线性的变换来达成（举例说，简单的尺度变换论证不可能有用）。因此，只有三种可能的策略：

精确、显式地解出NS方程（或者至少精确、显式地变换到更简单的方程）；
发现新的全局控制量，既具有强控制力、并且要么是临界的、要么是超临界的；
发现新的给出整体光滑解的方法，就算前面的三个条件都不具备。

人们在策略3上已经付出了许多努力，但方程的超临界性是一个真正严重的障碍，击败了所有已知的方法。策略1很可能没有希望；上个世纪的经验（最显著的例外包括完全可积系统，而NS当然不属于其中）表明，多数非线性偏微分方程，即便那些来自物理学的，都没有针对任何数据的显式解（虽然对于特殊的数据可能具有特殊解）。策略2也许有一点希望，毕竟庞加莱猜想在佩雷尔曼为里奇流引入新的全局控制量（佩雷尔曼熵，具有强控制力和临界性）后变得可解（当然仍然远非平凡）。参考我的这篇文章。但我们仍然不善于寻找新的全局控制量；如Klainerman所说，“若能针对任一基本物理方程的一般解发现任何比能量的控制力更强的量，都会成为一个重要事件”。

稍后再说策略2，先谈谈策略3。基本观察是NS方程与许多基本方程一样具有尺度不变性：给定任何尺度参数\(\lambda >0\)和满足NS方程的光滑速度场\(u:\ [0,T)\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\)，可构造出一个新的满足NS方程的速度场\(u^{(\lambda)}:\ [0,\lambda^2 T)\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\)，只需使用公式\[u^{(\lambda)}(t,x) := \frac{1}{\lambda} u(\frac{t}{\lambda^2}, \frac{x}{\lambda}).\] (严格说来，这个尺度不变性只在没有外力且非周期性区域\(\mathbb{R}^3\)中成立。可以修改这里的论证以适用于那些情形，关键点在于近似的尺度不变性可以扮演完美尺度不变性的角色。压强也经过了尺度变换：\(p^{(\lambda)}(t,x) := \frac{1}{\lambda^2} p(\frac{t}{\lambda^2}, \frac{x}{\lambda})\)。粘滞系数\(\nu\)不变。)

假定尺度参数\(\lambda >1\)。应该把从\(u\)到\(u^{(\lambda)}\)的变换看成一种放大镜，把\(u\)的精细尺度行为与相同的（尺度变化了，并且变慢了）粗糙尺度的\(u^{(\lambda)}\)的行为匹配。这个放大镜让我们能同时处理精细和粗糙尺度行为，把两种行为当作在一个固定尺度上的行为。注意到，尺度变换意味着精细尺度行为的时间尺度比粗糙尺度小得多（\(T\) vs \(\lambda^2 T\)）。因此，如果单位尺度的解在时间1时有某种有趣行为，则变换后的精细尺度解将在空间尺度\(1/\lambda\)和时间尺度\(1/\lambda^2\)具有类似的有趣行为。当能量不断被送往越来越小的尺度时就有可能发生鼓胀（blowup），演化越来越快，直到达到奇点，即整体演化的时间和空间尺度都变成零。为了避免鼓胀，我们必须阻止能量从粗糙尺度到精细尺度的运动。（有不同的方法让这些叙述严格化，比如Littlewood-Paley理论。）

现在考虑NS方程的任意大的光滑解，让它演化很长的一段时间\([0,T)\)，假定一直保持光滑，直到\(T\)处可能变得不光滑。在演化的后期，比如接近\(T\)的时间，解的行为多半与初始时很不一样（除了微扰范畴，但我们这里考虑的是任意大的数据）。事实上，我们可能有的控制量只有那些演化的全局控制量。若没有策略2方面的突破，我们只有两个真正有用的全局控制量（即便对大的\(T\)仍然有界）：

最大动能：\(\text{sup}_{0\le t<T}\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\left|u(t,x)\right|^2 dx\)
累积能量耗散：\(\frac{1}{2}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\left|\nabla u(t,x)\right|^2 dx dt\)

能量守恒是基本的约束。

上面两个量是强制的，意思是就算在很靠后期，解仍然存在于某个有界的函数空间中。可是，这基本上就是我们关于后期的解所唯一知道的了。因此，除非有策略2方面的突破，我们不能排除最坏的可能性：在接近\(T\)时的解实质上是一个任意的、散度为零、动能和累积能量耗散有界的光滑矢量场。特别地，在接近\(T\)时的解有可能把大部分能量集中在精细尺度（比如在\(1/\lambda\)的空间尺度）行为上。（当然，累积能量耗散不是单个时间的函数，而是对时间的积分。）

现在，把精细结构放大\(\lambda\)倍，得到NS方程的粗糙尺度解。由于精细尺度解有可能（在最坏情形）与任何能量和累积能量耗散有界的光滑矢量场一样，尺度变换后的解也可能跟任何能量和累积能量耗散有界（相应地乘以\(\lambda\)）的光滑矢量场一样。注意到两个关键量给出的控制力弱了\(\lambda\)；由于这种弱化，我们称这些量是超临界的 —— 在尺度越来越小时它们对解的控制越来越弱。与临界量（比如二维NS方程的能量）相比，后者在尺度变换下不变，因此对不同的尺度都能控制得较好（或者都控制得不好）。对于亚临界量，尺度越小，控制越强（因此在粗糙尺度用处小）。

现在，假定我们知道单位尺度的解的例子，其动能、累积能量耗散的大小在\(E\lambda\)，但能在\(O(1)\)的时间内把能量传输到下一个精细尺度，比如单位尺度的一半。我们的经过尺度变换的解有可能与这个例子行为类似。现在，撤销尺度变换，也就是，有可能原始的解能在时间\(O(1/\lambda^2\)内把能量从\(1/\lambda\)传输到\(1/2\lambda\)。如果这种坏情况不断重复，则几何级数的收敛表明这个解真的能在有限时间内鼓胀。注意到，坏的情况不需要一个接一个发生（自相似鼓胀），比如可以先从\(1/\lambda\)移到\(1/2\lambda\)，等待一会儿（按照尺度变换后的时间）让系统“混合”，回到“任意状态”（因此有可能是坏的状态），然后移到\(1/4\lambda\)，如此不断进行下去。虽然累积能量耗散可以提供一点关于系统能在这种模式下等多久的约束，但远不足以阻止在有限时间内鼓胀。换种说法，我们没有严格的、决定论性的方法来阻止麦克斯韦妖在越来越频繁的时间间隔内（按照绝对时间）破坏解的性质，通过不断的尺度变换把能量传入越来越精细的尺度，最终让解鼓胀。

因此，要让策略3成功，我们需要排除具有任意大能量和累积能量耗散的单位尺度解把能量传入下一个精细尺度。但我们所知的解析技术（除了策略1的精确解之外）都需要至少一个关于解的大小的界限才能有点用。基本上，需要至少一个界限来控制所有的非线性误差 —— 而任何所有不通过精确解进行的策略都至少有个非线性误差需要被控制。我们唯一有的是关于解的尺度的限制，但这不是关于解的大小的限制，所以行不通。

总结一下，任何通过策略3解决NS方程规范性的尝试都必须提供全新的对任意大小的非线性单位尺度的解在单位时间尺度上进行非平凡控制的方法，而如果没有策略1和2方面的突破，这看起来是不可能的。（也许有人想利用一些漏洞，比如对等待时间和混合量进行精细控制，或者利用能量传输伴随着的耗散，但这些漏洞都没什么用，如果不能在策略2的方向给出新的限制或对任何单位尺度的大的数据都适用的论证。）

使用更多术语，可以表达为：动力学所处的“能量面”可被尺度不变性做商。做商后的解可以与原始解差别任意大（即便在单位尺度），因此我们丢失了对解的所有控制，除非我们有精确控制（策略1），或者能缩小能量面（策略2）。

上面是对策略3的一般性批评。现在谈谈已知的一些在策略3方向的尝试，讨论它们的难点在哪里：

使用弱解，或者近似解（比如粘性解、惩罚解、超解、亚解，等等）。这类方法起源于Leray。早已知道通过弱化NS方程的非线性项，或者强化线性项（比如引入超耗散），或者对空间尺度进行离散化或规范化，或者放松对“解”的概念的要求，可以得到NS方程的全局解。人们的希望是通过取极限来恢复光滑解，而不只是全局弱解（早在1933年已经由Leray构造出了）。但想要让这个极限过程光滑，我们需要强拓扑下的收敛性。事实上，前面关于尺度变换的讨论要求临界或超临界拓扑下的收敛性。如果没有策略2方面的突破，我们有的收敛性都只是很粗糙（超临界）的拓扑。要把这样的收敛性升级为临界或亚临界拓扑类似于上面讨论的定量问题，并且最终面临相同的问题（控制具有任意大小的单位尺度的解）。纯粹定性的讨论会隐藏这些问题并导致错误，而不会让这些问题消失。事实上，已经知道弱解对于密切相关的欧拉方程表现很差。更一般地，通过把问题重塑为很抽象的形式，有一些方法可以给出可以被认为是广义解的抽象对象。但一旦想要确认广义解的规范性，就会面临前面提及的超临界难题。
在函数空间的迭代（比如，压缩映射原理、Nash-Moser迭代、幂级数，等等）。这些方法都是微扰性的，要求某些量是小量：要么数据小，或者非线性小，或者时间短。这些方法都各有用途，但不能处理大数据的全局问题（会遇到其它策略3方法遇到的问题）。这些方法通常对方程的特定结构不敏感，这已经是一个警告，因为能够很容易构造（很人为的）类似于NS方程且会发生膨胀的系统。最好的微扰结果很可能接近Koch-Tataru的结果。
利用膨胀判据。微扰理论能给出一些高度非线性的膨胀判据 —— 如果膨胀的话，解的某些模必定发散。比如，著名的Beale-Kato-Majda结果表明最大涡旋必定在膨胀点具有发散的时间积分。但是，所有这些膨胀判据都是亚临界或临界的，因此如果没有策略2方面的突破，已知的全局控制量不能被用来推出矛盾。类似于上面的尺度论证表明微扰方法不能达成超临界膨胀判据。
对膨胀点的渐进分析。另一个提议是在膨胀点附近做尺度变换，然后取某种极限，然后继续分析直到出现矛盾。这种方法在其它许多地方有用（比如为了理解Ricci flow）。但为了得到有用的极限（特别是，仍然要是NS方程的强解，并能塌缩到平凡解），需要均匀控制解的尺度变换 —— 换句话说，需要策略2方面的突破。另一个主要难点是膨胀可能不是只发生在一个点，而是有可能发生在一个一维集合；这是超临界性的另一个表现。
分析最小膨胀解。这个策略由Bourgain提出，近期在确认各种具有临界守恒量的方程的大数据全局规范性方面很成功，也就是，先做反证假定，假定膨胀解存在，然后提取出一个极小膨胀解，让守恒量最小化。这个策略（把微扰方法推到了极限）似乎成了处理大数据临界方程的标准方法。它的特征是极小解（模去尺度对称性）有足够的紧致性（或者准周期性），因此可以使用亚临界或超临界守恒律以及单调性公式（看我的这个文章）。可惜，按现在对这个策略的理解，它似乎不能被直接用于超临界情形（除非假定临界模是全局有界的），因为由于尺度不变性不可能最小化非尺度不变的量。
抽象方法（避免使用NS方程的特殊性质）。在最好的情形，抽象可以高效地组织和抓住问题的关键难点，把问题纳入直接和自然解决难点的框架而无需考虑无关的具体细节。（Kato的半群方法是非线性偏微分方程方面的一个例子，可惜只适用于亚临界情形。）在最坏情形，抽象把难题隐藏在某些微妙的概念里了（比如各种收敛性），因此风险是难题被抽象操作中不起眼的错误掩盖了。因此轻率忽视问题的超临界性的抽象方法都很可疑。更重要的是，许多方程有强力的守恒律，但仍然有有限时间的膨胀（比如质量临界聚焦NLS方程）。因此抽象方法需要利用NS方程的某些微妙特征，这些特征在已知会膨胀的例子里没有。这样的特征不大可能在被具体发现之前通过抽象方法发现。PDE领域的进展一般是现有具体的，然后才有抽象的，而不是相反。

如果我们抛弃策略1和3，则只剩下策略2 —— 发现新的界限（比超临界的能量强）。这不是天然就不可能，但难度很大。简单地把已有的能量界限放到NS方程然后看会出现什么能给出几个界限，但它们都是超临界的（通过尺度变换论证可知）。其它构造全局非微扰决定论性界限的方法是发现新的守恒量或单调量。在过去，当这种量被发现时，它们要么与几何有关（辛、黎曼、复，等），与物理有关，或者与某些倾向性（散焦）的非线性（或者各种曲率）符号有关。NS方程看起来没什么几何可用；另一方面，欧几里得结构通过耗散项\(\nabla\)和矢量场的无散度进入方程，但非线性性是描述速度场的输运，这只是一个任意的保体积的无穷小微分同胚（因此完全不涉及欧几里得结构）。可以试图模掉这个微分同胚（比如采用材料坐标），但这样剩下的几何不变量就很少了。（在欧拉方程情形，旋度矢量场在这个微分同胚下保留了，参考Li: Chaos in PDEs and Lax Pairs of Euler Equations，但这个不变量远不是强力的，几乎纯粹是拓扑性的。）NS方程不是单个标量方程，而是方程组，几乎没有倾向性的符号性质，排除了最大值原理和类似的比较原理给出界限的可能性。这样只剩下了物理学，但除了能量之外，不清楚流体的哪些量是决定论性单调的。（在随机层面上看起来好些，因为热力学可能起作用，但NS方程是决定论性的。）如果能在几何、物理、倾向符号之外找到新的非微扰控制量来源，但目前看来还很遥远。事实上，由于NS方程的湍动、不稳定、混沌特性，有可能除了来自能量的那些之外没有别的全局控制量了。

当然，由于证明全局规范性很难，或许可以尝试证明有限时间的膨胀。可惜，虽然NS方程很不稳定，但从这个到膨胀解，还有很远的距离。所有我知道的有限时间膨胀的结果（而不仅仅是不稳定性）依赖于下面一个或几个因素：

精确的膨胀解（或者通过精确的变换变成已知有膨胀的PDE或ODE）。
膨胀解的预定式（或者近似解），与那种预定式的某些非线性稳定性理论结合。
比较原理论证，用另一已知有限时间内膨胀的解来压制。
间接论证，构造解的泛函，这个泛函在有限时间内达到不可能值（比如对于光滑解这个量一定非负，但却会在有限时间内变成负数）。

有可能存在某种怪异的对称性约减给出 (1)，但没有人找到过NS方程的好的精确可解特殊情形（事实上，已经找到的都有全局光滑解）。(2) 也有问题：首先我们没有关于膨胀解的好的预定式，但可能更重要的是，有可能这种预定式的稳定性理论难度更大，仍然需要控制小尺度的高度非线性。追寻方法 (2) 的一个讽刺性的地方是，为了寻找严格的膨胀，需要先确立某种意义上严格的稳定性。方法 (3) 需要比较原理，但对于非标量NS方程看起来不存在。方法 (4) 有同样的问题，我们除了能量之外没有其它单调量。新的产生膨胀的机制将会是革命性的，但我还不知道这样的尝试，也许拓扑方法会有用。

有什么建议呢？我的看法是，策略1是不可能的，策略2需要物理方面的极好直觉或者好运气，这样剩下了策略3，这也是NS方程有意思的地方，让我们必须创造策略3的方法。我只有一些高度推测性的建议；

采用数据的集合，而不是单一的初始数据。
采用更简单的超临界玩具模型。NS方程是抛物型，在很多方面都复杂，维数较高并且不是标量。也许可以考虑其它简化模型，但仍然包含仅有的全局控制量都是超临界这一难点。例子包括欧拉方程的Katz-Pavlovic dyadic model（通过单调性论证可以证明膨胀，参考这篇综述），或者球对称散焦超临界非线性波动方程。
发展控制决定论性不可积动力系统的非微扰方法。虽然本文一直在谈PDE，但有限维动力系统中有类似的问题。除了微扰范畴（比如不动点或者不变环面的近邻），决定论数据的长期动力学演化仍然主要是由经典的精确解、守恒律、单调公式等控制。新的有效工具的发现将会是重要突破。一个自然的出发点是经典三体问题的长时间非微扰动力学，至今仍有基本的未解决问题 (也可参考Some Problems on the Classical N-Body Problem )。
为临界和接近临界问题确立真正好的界限。最近我展示了临界方程的特别好的界限意味着略微超临界方程的全局规范性。想法是使用在精细尺度轻微弱化的单调公式，但每一次往精细尺度的过渡都消耗大量的单调性；由于只有一个有限的单调性，在我的方程里后者刚刚能战胜前者，并恢复全局规范性（尽管这样做导致界限从临界情形的多项式弱化到对数超临界情形的双指数）。我严重怀疑我的方法能被用在非对数超临界方程，但确实临界层面上的强界限可能导致一些进展。
尝试拓扑方法。这是1的特殊情况。也许某种拓扑论证能被用来构造解，或者确立膨胀；在椭圆理论中有过这样的构造。这种方法性质上是全局的，而不局限于微扰或接近线性的情况。但是，据我所知这里没有显然的拓扑（除了涡丝可能产生的），并且对任何演化方程都没有一个这种想法的概念展示版本。所以这更多地只是一种愿望。
理解伪随机性。这是个极其模糊的陈述；但这个问题的难点的部分也存在于其它著名问题中（比如黎曼猜想、\(\text{P=BPP}\), \(\text{P}\ne\text{NP}\)，孪生素数猜想、哥德巴赫猜想，\(\pi\)的正规性，Collatz猜想，等等），那就是对于任何充分复杂（但是是决定论性的）的动力系统我们预期它们是混沌的，或者说伪随机的，但我们仍然只有很少的办法来让这个直觉精确化，特别是如果考虑决定性的初始数据（而不是一般性的数据）。在其它论题中理解伪随机性可能有助于理解NS方程的湍流性质。

结论是，虽然偶尔尝试解决难题是个好事，碰碰运气，但我宁愿花时间解决其它更可行的PDE问题，尽管在研究其它问题的时候应该记得这个问题，说不定就会碰到在策略1、2、3方面的突破。（特别是，在流体方程中有许多其它严肃而有趣的问题，远没有NS方程的全局规范性这么难，但仍然非常值得去研究。）