随机变量的倒数的分布函数

给定正态分布随机变量\(x\) \[p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\] 定义\(y = 1/x\)，则\(y\)的分布函数为 \[p_Y(y) = p_X(x(y)) \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y^2\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(1/y-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\]

事实上，对于任何分布\(p_X(x)\)，只要当\(x\to 0\)时趋近于非零常数值，则当\(y\to\infty\)时, \[p_Y(y) \propto y^{-2}.\] 注意到，对于这样的分布，期望值和方差都不存在，因为积分发散。