记还款时间和每次还款额为 \[t_1,\ a_1,\] \[t_2,\ a_2,\] \[\ldots,\] \[t_n,\ a_n.\] 第\(i\)次还款后剩余欠款为 \[r_{i} = r_{i-1} (1 + x)^{t_{i}-t_{i-1}} - a_{i},\] 其中\(x\)是单位时间的贷款利率，而 \[r_0 = A\] 是贷款总额，以及 \[r_n = 0\] 表示\(n\)次还款后欠款为零。

一般还款都是定期进行，\(t_i - t_{i-1}=1\)，于是 \[r_{i} = r_{i-1} (1 + x) - a_{i}.\]

记定期存款的利率为\(w\)，则由于还贷导致的定期存款减少量为 \[D = a_1 (1+w)^{n-1} + a_2 (1+w)^{n-2} + \cdots + a_n,\] 这应该被看成贷款的真实成本。

等额本息还款

意思是\(a_i\)是相等的常数，这样可以得到 \[r_{i+1} - \frac{a}{x} = (1+x)^{i+1} \left(r_0 - \frac{a}{x}\right).\] 结合\(r_0=A\), \(r_n = 0\), 得到 \[a = \frac{x \cdot A}{1 - \left(1+x\right)^{-n}}.\] 还款总额是 \[S = na = \frac{n x \cdot A}{1 - \left(1+x\right)^{-n}}.\] 减少的定期存款为 \[D = a\cdot \frac{(1+w)^n - 1}{w}.\]

根据贷款额\(A\)和等额的每月还款额\(a\)，也可以根据这个公式算出相应的年利率 (如果贷款人员没有告知或者计算方法不一样的话，比如所谓“信用贷”的计算方法就不一样)；可以通过迭代求解。

另: 一般银行给的是年利率 (记为\(y\))，而月利率是\(x = y/12\).

等额本金还款

“等额本金”还款，指的是第\(i\)次还款后的欠款数额等于同一个数\(b\)的\((n-i)\)倍，即 \[r_i = (n-i)\cdot b,\] 其中\(b = A/n\)。由此可以得到第\(i\)次还款金额为 \[a_i = b \cdot \left[1+x + (n-i)\cdot x\right].\]

第一次还款额是\(a_1 = b\cdot (1+nx)\)，最后一次还款额是\(a_n = b\cdot (1+x)\)，总还款额是 \[T = A \cdot \left[1 + \frac{(n-1)x}{2}\right],\] 总真实成本是 \[D = b(1+x)\cdot \frac{(1+w)^n - 1}{w} + b x \frac{1+w}{w^2} \left[(n-1)(1+w)^n - n (1+w)^{n-1} + 1\right].\] 上面用到了求和式 \[\sum_{i=1}^{n-1} i a^i = \frac{a}{(a-1)^2} \left[(n-1)a^n - n a^{n-1} + 1\right].\]