来源：http://www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/history.html

作者：Silvio Levy

本文是 Making Waves 这本书的一章。

1957 年 Stephen Smale 证明 (A classification of immersions of the two-sphere) 了关于球的浸入的一个很一般性的事实。从这个结果可以推出，存在一种办法把球面通过规范同伦内外翻转。

这个理论很快受到了质疑。一个叫 Raoul Bott (曾是 Smale 的导师，微分拓扑的奠基人之一) 的数学家直白地对 Smale 说他是错的，并且解释了原因。后来他被说服了，同意 Smale 的证明是正确的，但还是对 Smale 这个证明的高深莫测感到不舒服，希望能看到更直接的球面翻转。

“原则上可以把 Smale 的证明里的许多个小的几何构造粘起来得到翻转的直接图像，但这离实用很远” (Francis 1987)。

1961 年，Arnold Shapiro 发明了第一个直接翻转，但没有发表或广泛传播。他把想法告诉了法国数学家 Bernard Morin，后者又转告了 René Thomm，最后通过文章 Francis and Morin 1987 而被周知。Morin 是个盲人，他作为最早理解球面翻转的人之一这件事一方面表明了他的天赋异禀，另一方面也表明“可视化”远远超出了视觉的感官属性。

第一次大部分数学家和普通公众了解球面翻转是由于 Tony Phillips 在听了 Thom 的描述后给出了他所理解的 Shapiro 翻转的细节 (尽管后来发现是个不同的翻转方式)。他在 Scientific American 发表了一篇优美的文章，瞄准了较大范围的读者，带有一系列描述翻转的不同阶段的图片。

这些图片的发表驱散了这个问题的神秘和悖论气息，但填补其中缺失的环节并且追踪暗含的所有形变不是件容易的事。事实上，完整的头脑图景是很难获得的，而清楚打印的图像更难绘出，因为涉及的曲面有很多层：最成功的展示关注于局部细节，而依赖读者头脑里的合成能力来把细节粘合起来。人们开始寻找更简单并且更对称的方法。Morin 在 1967 年发明了一种新的翻转方法，比之前的都简单 (交汇次数最少)。Charles Pugh 制作了每个阶段的丝网模型，Nelson Max 把这些模型数字化并作为影片 Turning a Sphere Inside Out 的基础。翻转过程的渲染是 Jim Blinn 做的。

(数字化完成后不久 Pugh 的模型被从 Berkeley 偷了，后来再也没有被修复。)

Morin 在一系列短文中描述了他的方法 (Morin and Petit 1978a, 1978b, 1978c, 1980)。其中一篇短文给出了可用于计算机渲染的代数方程。

Morin 也发现了在任何翻转方法中都不可避免的某些“事件”的种类和次数。与 François Apéry 一起他发明了一种代数-分析翻转法，使用了最少的事件数 (Apéry 1992)。他也做了一些多面体的实现，把包含 20 个三角形的“球面”翻转 (Morin 1995)。Richard Denner 基于此制作的模型在巴黎的 Palais de la Découverte 展出。

七十年代中期，Bill Thurston 发展了他自己的 corrugations 想法。这给出了新的翻转途径；纪录片 “Outside In”里解释了这个。