近期不知为何多个来源 (微博、微信、知乎) 的文章都提到了涉及到 \(37\%\) 这个数字的某个话题。

起初，故事是这样的：

你是一个老板，你想招一个秘书。现在，假设有一百个候选者等着面试。假设这个面试跟一般的不同，你必须当场决定是否聘用当前面试的候选者，而如果你决定不聘用的话，她离开后就再也不会回来了。

作为老板，你当然希望聘用最优秀的人 (不管以何种标准衡量)。

那么问题来了，你应该怎么做，使得最终你聘用的人刚好就是候选者里最优秀的那个人的几率最大？

为了便于讨论，现在再引入一个假定，那就是，假定所有候选者的优秀程度两两不同。

一种做法是，先面试一些人，不管这些人在你看来有多优秀 (或者有多糟糕)，都不聘用；之后，只要出现比前面那些都更令你满意的人，则立即聘用她，并且不再面试后面的人。

现在的问题就是，上面这段话里的“一些”，究竟应该取多少呢？

答案是，取总候选人数的 \(37\%\)。

这个数字是怎么来的呢？

数学推导

重述一下整个过程：先面试 \(k\) 个人，找出他们中最优秀的一个，但一个都不聘用，然后，从第 \(k+1\) 个人开始，一旦出现比前 \(k\) 个都优秀的，立即聘用。假定在前 \(k\) 个人之后又面试了 \(i\) 个人才出现这个人；这个人是最优秀的候选者的几率是 \[ \frac{1}{N} \frac{k}{k+i}. \] 对不同的 \(i\) 求和，总的几率是 \[ \begin{split} p_{\text{true}\,\text{love}} & = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-k-1}\frac{k}{k+i} \\ &= \frac{k}{N} \left[\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{N-1}\right]. \end{split} \] 上面方括号里的东西，可以通过下面的级数求和公式 (这个叫调和级数) 得到近似值 \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{N} \approx \ln N + \gamma, \] 上面的 \(\ln\) 是自然对数函数，\(\gamma = 0.57721566\ldots\) 是欧拉常数 (更准确地说，是名为欧拉常数的常数之一)。当然 \(\gamma\) 在这里不重要。使用这个近似关系可得 \[ p_{\text{true}\,\text{love}} \approx \frac{k}{N}\left(\ln N - \ln k\right) = \frac{k}{N}\ln\left(\frac{N}{k}\right). \] \(k\) 取多少时 \(p_{\text{true}\,\text{love}}\) 最大？这归结为求函数 \[ f(x) = -x\ln x \] 的最大值的问题。使用大一 (或者高中？) 数学知识可得最大值出现在下面关系成立的地方 \[ f'(x) = -\ln x -1 = 0, \] 也就是 \[ x = \frac{1}{e} \approx 0.367879\ldots, \] 这里 \(e = 2.71828182845\ldots\) 是自然对数的底 (也叫欧拉常数)。

到这里知道，\(37\%\) 这个数字就是这么来的。

有意思的是，当 \(\frac{k}{N} \approx 0.37\) 的时候，相应的找到最佳候选人的几率 \(p_{\text{true}\,\text{love}}\) 正好也等于 \(0.37\)。这是本文标题的来由。

乍一看你也许觉得这个几率不高：才 \(37\%\)? 但是想想看，这个几率不是别的，是找到最佳候选人的几率，最佳哦。不管候选者是一百个、一万个、还是一亿个，只要使用这种方法，得到最佳候选者的几率都是 \(37\%\)。

这有什么用

除了最开始的招聘场景之外，假设你要找对象。假设你的目标是 30 岁结婚，假设你从 15 岁时 (高中；据说现在高中谈恋爱不算早恋了) 开始找对象。换句话说，你一共有 15 年可以用来找对象。

那么， \[ \begin{split} 15 \times 0.37 &= 5.55 \\ 15 + 5.55 &= 20.55, \end{split} \] 也就是说，当你差不多 21 岁的时候，遇到不错的，就可以定下啦。

不过，与招聘场景不同 (或者类似?)，当你觉得对方不错时，对方不一定对你有同样的印象。

当然，也可以应用到租房买房之类的场景。