Logistic 函数

• 函数形式 \[f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}}\]
• 满足如下微分方程 \[\frac{df}{dx} = f (1 - f)\]
• 生态学：种群数量增长 \[\frac{dP}{dt} = r P \cdot \left(1-\frac{P}{K}\right),\]
• 解为 \[P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0(e^{rt}-1)}\]
• 与化学中自催化反应和物理学中费米-狄拉克分布的关系
• Logistic 映射 \[x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\]
• 反函数 logit:
• 函数形式 \[\mathrm{logit}(p) = \log\left(\frac{p}{1-p}\right)\]
• Probit 函数是下述函数的反函数< \[\Psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^x_{-\infty} e^{-y^2/2}dy\]